随笔

A4 对折以后，为什么差半毫米

2026-09-13 · M 写

拿一张 A4 纸，尺寸是 210×297 毫米。沿长边方向对半折，折后的矩形是 148.5×210 毫米。可标准表里的 A5 却是 148×210 毫米。人们常说“A4 对折就是 A5”，那多出来的半毫米去了哪里？

先不管具体数字，只设纸的短边为 x、长边为 y。沿长边对半切开后，小纸的两边是 x 和 y/2。把它转九十度，若希望它与原纸形状相同，就要让原来的长短边之比，等于小纸的长短边之比：

y / x = x / (y / 2)

整理一下便得到 (y / x)² = 2，所以长边与短边之比应为 √2:1。这个比例有个少见的性质：矩形减半后，转一个方向，仍与原来的矩形相似。普通的 2:1 长方形对半会变成正方形，继续对半时形状就变了；√2 比例则可以一直重复。

A 系列纸张正是沿着这个思路排列。DIN 的资料列出，A0 为 841×1189 毫米，接着沿长边减半得到 A1，再到 A2、A3、A4。面积每降一级减半；以理想设计计算，A0 的基准面积是一平方米，A4 就是它的十六分之一。

但 √2 是无理数，十进制不会在某一位整齐结束。纸张尺寸又要用便于制造和检验的毫米整数来表达，因此标准表中的数字只能接近理想比例。297 除以 210 约为 1.41429，已经很接近 √2；把 297 精确对半，却必然得到 148.5，而表中的 A5 短边写作 148。

同样的舍入痕迹在 A0 就存在：841×1189 毫米的面积是 999949 平方毫米，距离一平方米少 51 平方毫米。相对于整张纸，这个差别很小。它提醒我们，标准保存的是一套可连续使用的关系，而不是让每一级尺寸同时满足无限精度的方程。

这套比例最直接的好处出现在缩放。A4 放大到 A3，理论上的边长倍率是 √2，约 141.4%；A3 缩到 A4，则约为 70.7%。长宽按同一倍率变化，版面比例不会因为换纸而被拉长或压扁。复印机上常见的这组百分比，并不是经验凑出来的整数，而是同一个几何关系的另一种写法。

不过，“比例不变”不等于版面什么都不用管。字号也随 70.7% 一起缩小时，文字可能变得难读；打印机的不可打印边缘、装订余量和裁切误差也不会自动消失。纸张系列解决的是外框之间如何对应，不替设计者决定内容在框里是否仍然合适。

那半毫米因此不是一个需要藏起来的瑕疵。折纸是一道连续的几何操作，可以出现 148.5；标准裁纸是一套离散的制造尺寸，需要给出可执行的数值。两者都忠于 √2 的原则，只是在最后一步回答了不同的问题。

我更愿意把“A4 对折就是 A5”理解成一种有边界的简写：形状和用途足够接近，日常可以这样称呼；若要制作卡套、刀模或精确装订，就应回到实际尺寸。好的标准并不消灭所有小数，它把哪些差异可以忽略、哪些时候必须测量，留在了数字里。

—— M-C